Multiplikation? Multiplikation mal anders!

Das kleine Einmaleins auswendig lernen, wer kennt es nicht aus der Grundschulzeit. Es ist ein wichtiger Bestandteil um die Zahlvorstellung bei den Schülerinnen und Schülern zu fördern oder auszubilden.
Weshalb dies so wichtig ist, soll aber nicht Teil dieses Artikels sein. Auch nicht die mathematisch durchaus interessante Frage, warum eine Zahl multipliziert mit Eins immer sich selbst ergibt (das neutrale Element der Multiplikation) oder weshalb eine Zahl die mit Null multipliziert als Ergebnis immer Null ergibt (Nullelement). Gruppen, Ringe und Körper wären aber sicher auch mal ein interessantes Thema 😉

In diesem Artikel soll es um interessante Möglichkeiten gehen, um zwei Zahlen miteinander zu multiplizieren – neben der (schul-)üblichen Multiplikation gibt es noch einige andere Varianten!

Neben der üblichen Multiplikation (Nein, ohne Taschenrechner…), werde ich deshalb auch auf die chinesische Multiplikation und auf die russische Bauernmultiplikation näher eingehen. Sie können durchaus sinnvolle Alternativen sein, um schnell mal ein paar Zahlen zu multiplizieren, auch wenn der Taschenrechner nicht gerade griffbereit ist … oder um bei der nächsten Party mal ein wenig mit seinem Wissen anzugeben und den/die ein oder andere zu verblüffen ^^
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Mit beiden Händen bis 1023 zählen

Mit den Händen bis zehn zählen kann jeder, doch die wahre Kunst ist es, dies auch bis 1023 zu schaffen.
Was man dazu benötigt? Nun ja, zwei Hände und ein wenig Wissen um das binäre / duale Zahlensystem.

Das allgemein genutzte Dezimalsystem funktioniert so, dass 10 Zahlen (0, 1, 2 .., 9) je Stelle möglich sind. Gibt es zum Beispiel bei einer Addition einen Übertrag, so wird dieser an die nächste Stelle weitergegeben: 9 + 2 = 1 1

Im Binäre oder Dualen System gibt es nur 2 Zahlen, nämlich die null und die eins. Die Dezimalzahlen von 0 bis 10 sehen im dualen System folgendermaßen aus:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010

Wie funktioniert der Übertrag im Dualen System? Wie im Dezimalsystem: Immer wenn die es einen Übertrag gibt, wird dieser an die nächste Stelle weitergegeben. Hier mal zwei Beispiele:
11 + 1 = 100 (im Dezimalsystem: 2 + 1 = 3)
1011 + 1 = 1100 (im Dezimalsystem: 11 + 1 = 12)

Jeder Finger entspricht genau einer Stelle der Zahl im binären Zahlensystem. Bei 11111 wären also alle Finger einer Hand oben (entspricht der Zahl 31 im Dezimalsystem).
Mit einem Finger kann man so 2 Zahlen darstellen: 0, 1
Mit zwei Fingern kann man so 4 Zahlen darstellen: 00, 01, 10, 11
Mit drei Fingern kann man so 8 Zahlen darstellen: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
… der Zusammenhang ist klar erkennbar: Mit x Fingern kann man 2^x Zahlen darstellen.
Mit zehn Fingern lassen sich demnach 1024 Zahlen darstellen: Die Zahlen von 0 bis 1023.

Viel Spaß beim Nachzählen ^^

Wie viele Blätter hat der Baum? (Idee 1)

Die Anzahl der Blätter eines Baumes abzuschätzen ist keine einfache Aufgabe, es gibt aber Mittel und Wege beziehungsweise Vorgehensweisen um die Größenordnung zu bestimmen.

Eine Möglichkeit ist es, die Anzahl der Blätter je Zweig zu abzuschätzen. Dies macht man vornehmlich an einem Zweig, an welchem noch einzelne Blätter hängen.
Vom Baumstamm abgehend kann man die Äste zählen. Die weiteren Verästelungen kann man dann wiederum zählen und die Anzahl abschätzen.
Hat man nun sowohl die Anzahl der Äste also auch die Verästelungen und Zweige mit der Anzahl der Zweige je Blatt multipliziert, hat man eine grobe Abschätzung der Blattanzahl. Selbst die dabei möglichen Fehler kann man relativ einfach nach oben und unten abschätzen, indem man einfach die Anzahl der Äste, Verästelungen, Zweige und Blätter in einem realistischen Rahmen variiert.

Mit gut abgeschätzten Mittelwerten ist der Fehler allerdings gering, und wenn wir der Frage nach der Blattanzahl nachgehen, kommt es nicht auf 100 oder 1000 Blätter an.
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Wie viele Blätter hat der Baum?

Im Herbst ein durchaus interessantes Thema denn, wenn ich sehe, wie viel Laub auf den Straßen liegt, dann kommt mir durchaus die Frage: Wie viele Blätter verliert ein Baum im Herbst beziehungsweise wie viele hatte er im Sommer gehabt?

Die Frage habe ich schon öfter einmal mit Schülern gemacht und führt immer wieder zu verdutzten Gesichtern, ob der Menge und Anzahl an Blättern. Heute möchte ich diese Aufgabe gerne an euch weitergeben und sammle schöne Ideen, Lösungswege und Herangehensweise, welche ich dann in der nächsten Woche am Samstag den 10.11. hier veröffentlichen werde. Einsendeschluss ist also Freitag der 09.11. um 24 Uhr 😉

Eine Angabe der Baumart und eine Abschätzung der Höhe wäre übrigens sehr sehr vorteilhaft um Vergleiche der Methoden/Herangehensweisen machen zu können. Ihr könnt eure Lösungsideen entweder per Mail an thomasnatzel@gmail.com schicken, oder als Kommentar hier hinterlassen – einen Gewinn gibt es auch für jeden der mitmacht: kostenlosen Lernzuwachs für Euch ^^

Hier gibt es die erste Möglichkeit:
Über die Verästelungen des Baumes und die Blätter an den Zweigen

Vorteilhafte Notengebung

Notengebung ist nicht nur äußerst subjektiv, nein auch (partiell) schlechte Schüler(innen) können bevorteilt werden. Wer in einem Test null Prozent der Gesamtpunktzahl erreicht und in einem zweiten Test die volle Punktzahl und somit 15 Zensurenpunkte, der steht bei dem allgemein genutzten arithmetischen Mittel bei 7,5 Zensurenpunkten. Eigentlich hat diese Person jedoch im Durchschnitt nur 50% der Punkte in beiden Tests zusammen erreicht und hätte dementsprechend nur 6 Zensurenpunkte – womit diese Diskrepanz zusammenhängt, möchte ich gerne im Folgenden näher erläutern.

Doch zuvor möchte ich erst einmal eine gemeinsame Ausgangsbasis schaffen, am besten am Beispiel der Notenstruktur in der Sekundarstufe 2, in welcher 0 bis 15 Zensurenpunkte erreicht werden können.

Zensurenpkt. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ab Prozent 00 09 18 27 36 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

Wie man recht leicht erkennen kann, steigt der prozentual notwendige Anteil an den Gesamtpunkten, um die nächsten Zensurenpunkte zu erreichen, am Anfang recht stark an (in Neun-Prozent-Schritten) und ab 5 Zensurpunkten nur noch in Fünf-Prozent-Schritten. Dieses Ungleichgewicht kann nun zu besseren Noten führen – denn oft wird einfach nur das arithmetische Mittel der Noten berechnet, nicht aber das gewichtete arithmetische Mittel (was in diesem Fall der Ungleichverteilung notwendig wäre).
Wenn ein Schüler das Unwahrscheinliche schafft und einmal mit 100% der Rohpunkte 15 Zensurenpunkte bekommt und in einer anderen Leistungsüberprüfung 0% der Rohpunkte und somit 0% der Zensurenpunkte, steht er am Ende zwischen 7 und 8 Punkten, da das arithmetische Mittel \frac{15+0}{2} = 7,5 beträgt.
Schaut man sich jedoch die prozentual erreichten Punkte – also 0% und 100% – an, so liegt hier das arithmetische Mittel bei 50% und somit bei 6 Punkten.
Dieser Effekt tritt immer auf, wenn Noten aus dem Bereich unterhalb der 5-Punkte-Marke mit denen oberhalb der 5-Punkte-Marke vorhanden sind und ein Mittelwert berechnet wird.
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